[수리] Emergence of Scaling in Random Networks
 
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2019-11-21 16:37:40

현실에서 멱함수 분포 찾기 대유행을 몰고온 바라바시 논문입니다.

짧은만큼 꼼꼼히 읽으시면 좋은 논문입니다.
   
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Comments
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Updated at 2019-11-27 17:10:30

본 논문에서 소개하는 두 가지 중요한 가정 중 Preferential connectivity라는 가정이 과연 general하게 통용될 수 있는 가정인지 궁금합니다. Connection의 개념이 일방향적인 것이라면 이해가 가능하지만 만약 connection의 개념이 쌍방의 합의에 의해 형성되는 것이라면 ‘power law’로 설명하기 어려운 분포(figure 2A와 같은 형태)가 나타날 것 같습니다. 만약 connection이 쌍방에 의한 것이라면 기존에 많은 connection을 보유하고 있는 vertex connection을 적게 갖고 있는 vertex와의 연결을 무조건적으로 수용하지 않을 것이고, resource가 제한적이라면 그러한 connection을 수용할 수도 없을 것입니다. Preferential connectivity라는 가정에 대한 설명을 읽으며 status 개념과 매우 유사하다고 생각했습니다. 그러나 논문에서 신인 배우가 시간이 지남에 따라 점점 established되고, 더 잘 알려진 배우와 connection을 가질 것이라는 예시는 후자의 배우에게 큰 유인을 제공하지 못 합니다. 높은 status를 가진 배우는 검증이 안된 신인배우와 connection을 맺는 것에서 자신의 status leakage를 우려하기 때문입니다. 오히려 신인배우가 casting이 되는 과정에 있어 높은 status의 배우와도 함께 해보고, 오히려 더 낮은 status의 배우와도 작품을 같이하는 up and down 경향을 갖거나 자신과 같거나 낮은 status의 배우들과만 connection을 맺을 것이라고 생각합니다. , connection이라는 개념이 쌍방의 합의에 의해 성립된다는 가정을 해본다면, 오히려 낮은 수준의 connection을 갖고 있는 vertex는 더 높은 connection vertexconnection을 맺기 보다는 비슷한 수준의 vertex와만 connection을 맺고, stable connection 정도를 유지하지 않을까라고 생각했습니다.  


추가적으로 sbs스페셜 376회에 나온 멱함수에 관한 짧은 영상이 있어서 같이 올립니다.

WR
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2019-11-27 23:30:59

1. 맞습니다. 쌍방향적인 status는 어떤 이유에서건 멱함수를 보이기는 어렵죠. 수업에서 다루지는 않았지만 수리사회학의 신고전, Gould의 Origin of Status Hierarchy라는 논문이 쌍방향 네트워크를 더 잘 설명할겁니다.

2. 동영상의 경우는 바라바시의 Linked뿐 아니라 후속작인 Burst의 주장을 요약하고 있는데, 저는 이처럼 인간을 예측한다는 주장은 과장되었다고 생각해요. 사실 바라바시는 물리학자라 macro-pattern을 정확히 예측하는 것을 인간을 예측할수 있다고 보는 것 같은데, 사회과학자가 생각하는 인간행동 혹은 조직행동 예측은 특정한 행위자의 행동을 예측하는 거죠. 
비유하자면, 기체 분자들이 전체적으로 브라운 운동의 분포를 보인다는 걸 매크로에서 정확한 예측이라고 할 수 있지만, 개별 분자의 움직임은 예측할 수 없죠. 
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2019-11-27 17:08:49

real world에서 발견되는 멱함수 분포가 어떻게 그렇게 생겨먹을 수 있게 되는지를 설명하고 있는 논문이었는데요, 그러한 분포 기저에서 열일(?)하는 두가지 특성(growth & preferential attachment) 덕분에 현실 세계에서의 대규모의 복잡한 네트워크가 필연적으로 멱함수 분포로 귀결하게 됨을 그래도 쉽게 잘 풀어내주고 있어서 잘 읽었어요. 

 
특히 개별 unit 단위에서의 상호작용이 cumulate 되면서 (멱함수 분포를 따르는) 안정적으로 구동되는 모종의 불평등한 위계구조를 자가생산해 내는데, 사실 그러한식의 '마태 효과'를 만들어내는 개인 unit 단위에서의 상호작용이 실제의 대상의 내재적인 quality와는 무관하게 오히려 그냥 '더 많이 보이고 노출된 것이니까 뭐 좋은 거겠지'라는 식의 인상을 바탕으로 작동한다는 점에서 흔히 운칠기삼이라고 하는데, 결국 될놈될은 태생부터 정해져있구나라는 생각이 들어서 참 세상살이 쉽지 않구나 라는 생각을 했어요.     

한 가지 궁금한 점은, 논의에 따르면 만약 멱함수 분포를 따르는 생태계 (가령 논문 인용)가 있다고 할 때에, 물론 수많은 개미 논문들이 몰려있는 꼬리부분에서는 수많은 유입과 퇴장이 있고 바로 그러한 이유로 다양한 변화가 수반될 수 있겠지만 결국은 전체 생태계 차원에서의 변화는 쉽게 일어나지 않는다고 이해할 수 있는데요, 그렇다면 이러한 논의에서는 '반짝 엄청나게 떴다가 머지않아 사라진 예외적인 사례들 (그것이 논문이든 혹은 음악이든) 등은 어떻게 설명할지 궁금하네요.   
WR
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2019-11-27 23:35:23

1. 바라바시의 승자독식적 모델은 초창기에는 능력차가 없는 동일한 노드들 간에도 격차가 벌어지는 모델이죠. 반면 음악시장 연구나 후속 van de Rijt의 연구는 초기 질적 차이가 증폭되는 모델이구요. 둘을 비교하면서 세상을 해석하는 것이 가장 효과적일 것 같습니다.


2. 순식간의 흥망성쇠를 어떻게 해석할 수 있는가? 이걸 멱함수적으로 설명하려면 오히려 Newman에 나온 percolate현상과 비슷하지 않을까 해요. 소위 데미지가 쌓이는걸 모르고 있다가 순식간에 와해되는 거죠. 
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2019-11-27 17:58:17

  이 글에서 random graph theory small-world model 부재하는 것으로 나타나는 growth, preferential attachment 가지 특성은 네트워크가 scale-free한 특성을 가지는 데 필수적인 것으로 제시됩니다. 멱함수 분포를 이용해서 현실의 거대 네트워크의 토폴로지를 제시하고 기존의 연구들이 그렇게 하지 못했던 이유를 앞서 이야기한 두 특성을 고려하지 않았기 때문이라고 지적한 내용을 보니 왜 멱함수 네트워크 찾기 대란(?)이 벌어졌는지 이해가 갔는데요, 그렇다면 현실의 네트워크가 scale-invariant 하다는 것이 무엇을 의미하는지 생각해볼 필요가 있는 것 같습니다. 

  잘은 모르지만 멱함수에서 scale을 해주는 상수를 제거하면 그 근본에는 다 같은 모양의 분포가 있는 걸로 알고 있습니다. 그렇다면 현실에서 growth와 preferential attachment가 작동하고 있는, 연구자들의 인용 네트워크, actor network와 같은 네트워크들은 그 근본 성격은 같다는 말이 되고, 저자들이 말하는 것처럼 더 디테일한 모델이 완성되면 γ 값을 정확하게 계산해서 'k개 이하의 connection을 가지게 될 확률'을 계산하는 작업까지 가능해집니다. 이 말은 마치 설국열차에서 각 칸마다 들어갈 수 있는 사람 수가 제한된 것처럼 내가 속한 네트워크의 성격에 따라 나의 가능성이 ‘이미’ 제약되어 있는 듯한 암시를 주는 것 같아요. 한편 이러한 불평등을 해소하는 방향은 (이 글에서 linear한 preferential attachment를 가정한 것과 달리) 주변화된/관련된 논문 등을 추천해주는 시스템을 통해 preferential attachment에 개입하는 방향이 아닐까 생각해봅니다.

WR
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2019-11-27 23:40:58
preferential attachment 모델이 분명 직관적이고 설득력있지만, 제가 알기로 이 모델이 향후 분석적으로 유용성을 크게 발휘하지는 않은 것 같아요. 당장 tie dissolution도 고려하고 있지 않기에. 따라서 현실에서 이 모형으로 'k개 이하의 connection을 가지게 될 확률'같은 걸 계산하기는 쉽지 않아요. 
이 말은 사실 현실의 어떤 분포가 멱함수를 따른다해도 scale-invariant하기는 사실 쉽지 않다는 말인데, Newman이 보여줬듯이 실제 분포는 작은 샘플값들을 제외해야 멱함수이기 때문이기도 합니다.
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Updated at 2019-11-27 18:47:00

Barabasi&Albert의 논문이 흥미를 이끈 것은, "fat tail", "롱테일" 현상, 혹은 Newman논문의 "3.D.Top-heqvy distributions and the 80.20 rule"에서 정리한 현상을 설명할 수 있는 원리 혹은 동학을 발견해냈기 때문이라고 생각합니다. 성장과 선호적 연결이라는 간결한 상황을 주면 이런 현실의 현상을 시뮬레이션으로 구현해낼 수 있음을 보여준 것입니다. 특히나 '개별 개체', 특수성에 환원할 수 없는, 오히려 분야를 가리지 않고 보편적인 복잡계, 네트워크의 구조적 특성에서 기인한다고 주장했기 때문에, 분야를 가리지 않고 적용해보면서 인기를 끌 수 있었다고 생각합니다.논문을 읽고 들었던 몇가지 궁금했던 지점들은...(1) complex system과 large network의 구분이 어디에 있는지 (2) scale-free와 power-law를 혼용해서 쓰고 있는 것은 아닌지 (sclae-free network의 정의 자체가 power-law를 따르는 것..) (3) growth와 preferential attachment가 서로 둘다 필요하다는 것이 제3의 다른 생성 메커니즘이 있다고 말할 수 없는 것인지... 등입니다.

결국 '멱함수'이냐 아니냐, 명확한 "scale-free network"이냐 아니냐보다 현실 네트워크에서 멱함수분포와 scale-free의 특징인 (그러나 필요충분조건은 아닌) high K를 가진 vertex (혹은 허브들)을 발견할 수 있다는 게 더 '현실적으로' 중요하게 다가왔을 것 같습니다. 정규분포적인 상황에 익숙한 사람들에게 멱함수분포는 반직관적인 흥미를 이끌었고, 더군다나 세계화, 디지털화 등으로 네트워크의 크기는 커지고, 그에 따른 불균형, 불평등, 간극이 더 극심해져가는(간다고 여겨지는) 세상에서 멱함수 찾기가 더 큰 반향을 얻고 주목된 것이 아닌가 합니다. 이는 최근 바라바시의 연구소가 'science of success'를 연구하게 된 것과도 맥이 닿아있는 것 같습니다. 매우 높은 k를 가지는 두꺼운 꼬리에 위치하는 집단들의 체계적 특성이 무엇인지 밝혀내는 것이지요.

+ 이 논문이 나온 이후 멱함수를 실제네트워크에서 찾는 논문들, 반박하는 논문들도 여럿나왔습니다... 


최근에도 척도 없는 네트워크가 드물다는 논문( | https://doi.org/… )이 나왔고, 거기에 바라바시가 강력하게 반박한 글도 재미있었습니다.  | https://www.barabasilab.com/…  여기에 바라바시가 1999년 이후로의 네트워크 사이언스의 발전?을 간략하게 정리해놨는데 짧게 읽을 수 있어 같이 공유합니다. 이 글( | https://www.nature.com/… )은 scale-free networks are rare 논문이 출판될때 코멘트로 양쪽 의견을 정리한 기고문인데 이것도 흥미로워 공유합니당



WR
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2019-11-27 23:48:44

전반적으로 왜 멱함수가 인기를 끌게 되었는지에 대한 진단에 동의합니다. 

science of success가 extreme value에 대한 연구라는 점에서 멱함수 분포와도 연결된다는 지적도 흥미롭구요. 링크해준 내용은 수업시간에 좀 더 소개해줘요.
질문들에 대한 제 답은: (1) complex system과 large network의 구분은 특별히 없는 것 같고 (2) Newman에 따르면 scale-free인 유일한 확률본포가 power-law이기때문에 혼용해도 괜찮고, (3) power law는 매우 다양한 메커니즘이 가능할 수 있습니다.
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Updated at 2019-11-27 22:50:43

사회현상에서 네트워크는 scale-free network로 그 상호작용의 연결선 수(k)의 분포가 power law를 따른다는 논문이었는데요, 논문에는 나와있지 않지만 Barabasipower law가 혼돈이 아닌 질서라고 말하기도 합니다. 그런 측면에서 Hub(high influence)가 존재하는 scale-free network가 상대적으로 ordered 되었다고 생각할 수 있을 것 같습니다.

반면에 power & influence가 소수에게 집중되는 것을 승자 독식, 부익부 등의 불평등의 시각으로 바라본다면 그에 따른 문제의식이 제기될 텐데 앞선 측면과 이 측면의 간극은 참 어려운 문제인 것 같습니다.

 정규분포(poisson distribution과 같이) 혹은 Horizontally linear가 불가능하다는 전제를 갖는다면, 그 차선은 k의 분포가 log 함수 형태일 텐데 이 경우에는 k가 작은 vertices들이 느끼는 박탈감이 더 심화될 것이라는 생각이 듭니다. 그리고 system 전체적으로 보았을 때는 interactions의 수가 너무 많아져서 disordered되기 쉬운(?) 상태라고 볼 수 있을 것 같고요

대중교통의 hub를 생각해 본다면 서울역, 사당역, 강남역 등등이 떠오르는데요. 모든 역들이 hub라고 상상해본다면 어느 버스정류장을 가도 버스가 줄지어 서있어서 정류장으로 오는 버스를 한참동안 기다려야 하는 끔찍한 상황인 것 같네요. 하지만 소수의 vertices들에게 집중되는 것은 문제시되는 상황인 것 같고 다시 한번 느끼지만 참 어려운 문제인 것 같네요.

WR
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2019-11-27 23:57:06
scale-free network는 허브가 다수 존재하기 때문에 하나의 허브가 파손되어도 나머지 허브들로 보완이 되고 네트워크 시스템을 유지하는데 유리합니다. 그런 점에서 ordered라고 할 수 있겠죠.
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2019-11-27 21:26:11

1. 다시금 small world network가 생각났습니다. 어떤 것이 더 현실을 잘 반영하는 걸까요?
바라바시가 말하는 것처럼 많은 연결을 가진 hub역할을 하는 node도 분명히 존재한다고 생각합니다. 그런데, 만약 단순 연결이 아니라 연결의 질도 고려한다면 어떨까요? 저는 만약 질적인 측면도 고려한다면 small world network가 가정하는 바와 비슷해지지 않을까 합니다. 정말 발이 넓은 사람이라도 그들 모두와 '자신의 내밀한 속내까지 공개할 수 있는 친근한 사이'로 지내지는 않을 것 같아요(물론 그런 사람이 있을 수도 있을 것 같아요).

2. 연결의 정의를 어떻게 봐야 할까요? social network는 세포나 단백질처럼 연결을 0 아니면 1로 정의할 수 없다고 생각합니다. 단순히 그 사람을 '아는 정도'라고 한다면 대통령의 경우라던지 유명한 가수의 경우라던지 하는 등은 바라바시가 보여준 것처럼 hub 역할을 하는 사람이 될 수도 있겠죠. 하지만 '서로 아는 정도(누군지 알고 있는 정도)'로 정한다던지, 앞선 질문에서 언급한 것처럼 연결의 질적인 측면을 고려해서 '친한 정도'로 정한다던지 하게 되면 hub 역할을 하는 사람이 매우 드물 듯 합니다. 이처럼, 연결을 어떻게 볼 것인지도 논의해볼 만한 주제인 것 같아요. (저는 개인적으로 최소 서로 통성명은 한 사이를 연결로 취부해야 한다고 생각합니다.)

3. 그낭 주변을 둘러보면 엄청난 연결을 가진 hub는 잘 보이지 않는 듯합니다. 혹자는 팔로워수가 많은 연예인 인스타그램 계정을 예로 들던데, 저는 그것이 일방적 연결일 뿐이지 실제로 연결된 것은 아니라고 생각해요. 그래도 인터넷이 네트워크의 확장 가능성을 무한히 높여준 것은 맞다고 생각합니다. 사람들은 온라인 게임에 접속하면서 수많은 유저들과 접촉할 수 있어요. 온라인 마켓 판매자도 엄청 많은 사람들을 접촉하고 있죠. 하지만 이것도 앞서 했던 질문처럼 연결의 정도라던지 등을 고려하면 또 다르게 말할 수 있지 않을까요?

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2019-11-27 21:40:18

추가적으로, 람다가 어떻게 구해질 수 있는 것인지 설명 듣고 싶어요!

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2019-11-27 21:44:42



Barabasi의 본 논문은 복잡한 네트워크를 이루는 사회현상에서 노드의 연결선 수가 멱함수 법칙적 분포를 따르는 척도없는(scale-free) 네트워크를 형성하게 된다는 것을 수학적으로 증명해주고 있는 것 같습니다.

 

특히 preferential connectivity와 관련하여 영화배우와 웹페이지, 논문인용의 예를 들면서, 추가된 노드가 기존의 노드와 무작위로 연결되지 않고, 기존의 노드 중에 연결정도가 큰 노드와 연결되려는 경향이 높다는 것은 척도없는 네트워크에서 소수의 허브가 어떻게 만들어지는지를 알게 해주는 것 같습니다.

 

어찌보면 범죄조직의 경우에도 행동대장, 마약공급책과 같은 소수의 허브와 보이스피싱 인출책이나 마약 투약자와 같은 많은 수의 생계형(?) 범죄자로 구성된 척도없는 네트워크가 아닌가 생각을 해보았고, 이를 통계적으로 증명하려면 스노우 볼링식 데이터를 얼마나 어떻게 수집해야 하고 어떻게 분석해야 할 것인가가 앞으로 제 연구의 과제가 될 수도 있겠다는 생각을 해보았습니다.

 

한편, KT에서 이동통신 고객들의 위치정보를 분석하여 서울시 심야버스 노선도를 개편한 적이 있는데(아래 그림 참조), 이 사례의 경우에도 버스 정류장이 될 수 있는 수많은 사람과 연결된 허브지역을 중심으로 보다 적은 사람과 연결된 지역이 운행노선을 형성하게 되는 멱함수의 법칙을 따르게 되는 것 아닌가라는 추정도 해보면서 다양한 사회현상에 접목해 볼 수 있겠다는 생각이 들었습니다

   

   

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Updated at 2019-11-28 00:07:45

 Small-world(Watts, 1999)의 랜덤 그래프가 제시하는 short-cut에 의해 "알고보니 내 친구의 친구더라"하는 결론은 인상깊었지만 Hub의 존재를 어떻게 설명할 수 있는가?에 대한 질문에는 답을 주지 못했습니다. 현실에 기반한 "내 주변"의 면대면 네트워크를 생각해볼땐 random rewiring에 의한 small-world가 맞는 것 같지만 거대한 대규모 네트워크 혹은 온라인 상의 네트워크를 생각해봤을땐 쉽사리 받아드려지지 않았죠. 페이스북의 친구 연결망 상태를 생각해보면 친구 수 내지 범위가 굉장히 불균등(온라인 의 인플루언서, 인스타 스타, 페북스타)하니까요. 온라인 커뮤니티 게시판을 이용하는 이용자의 행위를 볼 때도 다수에 의한 커뮤니티이기 보다 충실한 소수에 의한 활동으로 굴러가는 커뮤니티를 많이 봅니다(게시판 네임드의 존재). Barabasi는 이 지점에서 scale-free network를 제시합니다. 더 많은 수의 '링크(k)'를 가진 노드가 새로운 링크를 차지하기 쉽고 (random rewiring이 아닌거죠) 이에 따라 self-organizing 네트워크의 분포를 가지게 됩니다. 그리고 이러한 분포는 K에 따라 멱함수 형태의 분포를 가지게 됩니다. self-organizing을 만드는 상황이 open-system에 기반한다는 점을 보았을 때, 분포가 불평등하게 집중되는 것은 open-system의 열린 정도를 조절함으로써(?) 어느정도 해소할 수 있지 않을까 싶습니다.
 또한 power-law가 흥미로웠던 지점이 있습니다. 여태까지는 distribution를 보여줌에 있어서 1)
central limit theorem에 따라 원래의 분포와 관계없이 정규분포를 이룬다는 점이나 2)outlier를 구별해내거나 3)평균으로 회귀한다는 발상이 익숙합니다(회귀 모델 자체가 잔차를 평균에 회귀하도록 만들었으니). 그러나 멱함수 법칙에서는 오히려 scale-free하다고 하니까 발상 자체가 바뀌는 느낌입니다. 분포 자체가 매우 불평등하기 때문에 평균값을 재는 것, 그리고 이를 확률변수로 삼는 것이 의미가 없습니다. outlier가 멱함수 분포에서는 outlier가 아니게 되는(?) 지점이기도 합니다. 

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2019-11-27 22:55:42

온라인에서의 멱함수는 많은 부분 설계된 면이 있는 거 같습니다. 심지어 어느 정도는 의도도 된 거 같습니다. 반면에 오프라인 면대면 연결만 가능한 상황이어도 멱함수가 발생하는지, 즉 스몰월드에서 허브가 왜 어떻게 생기는지 궁금합니다. 제 생각은 행위자 특성이 먼저 떠오르는데요, 스몰월드에서 리와이어링이 랜덤하고 이게 현실을 잘 반영하지 않는다는 의견이 있지만, 실제 리와이어링도 랜덤한 면과 선호적 연결이 둘 다 있습니다. 엘리스 고프만에 따르면 인생의 중요한 변화들은 일상생황이 아니라 특수한 occasion(파티같은)에서 비롯된다고 설명합니다. 파티나 술집에서 누굴 만날 확률은 어느정도 랜덤하죠, 그러나 누가 occasion에 더 많이 참여하고, 참여한 occasion에서 connection을 얼마나 잘 형성하는지는 개인 특성이라고 생각합니다.

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2019-11-28 02:46:00
소득의 불평등을 나타내기 위해 쓰이는 지니계수처럼, 
Power-law distribution을 나타내는 감마값(γ)이 연결망의 불평등 지표 (preferential connectivity의 정도)처럼 쓰일 수 있지 않을까 생각했습니다. 
감마값이 낮을수록 Erdos-Renyi Random Network에 가까운, 사람들이 랜덤하게 관계맺는 네트워크가 될 것이고, 감마값이 높을수록 Preferential connectivity가 클테니깐요.
그렇다고 한다면 Power-law distribution을 이용해서 개별 행위자의 행동을 예측하기는 어렵지만, macro-level에서 연결망의 특징을 나타내는 변수로 감마 값을 이용할 수 있을 것 같아요..


가령, 국가별 영화 시장마다 배우 연결망의 감마값이 다를 수 있을 것 같은데, 감마값이 낮은 (신인의 작품 기회가 많은) 시장일수록 시장 전체가 더 성공적인지 (더 큰 수익을 내는지), 높은 시장일수록 더 성공적인지 궁금하고,
학문별 차이가 있는지도 궁금하네요. 학문 간, 또는 같은 학문 내 분야 간 비교를 해볼 수 있지 않을까요?Citation이 유명인에게 집중되는 학계가 성공적인지, 그렇지 않은 학계가 성공적인지,
지난 수십년 간 학계 연결망의 감마값은 높아지는 trend를 보이는지, 낮아지는 trend를 보이는지 궁금하기도 합니다.
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2019-11-28 04:31:06

Preferential한 선택으로 노드간 새로운 연결이 생길 때 그것이 연결을 수행하는 노드의 입장에서 가장 효율적인 선택인지, 혹은 네트워크 전체에서 효율적인 선택인지가 네트워크 형태를 달라지게 만들 것이라는 생각을 한적이 있었는데, 상대적으로 네트워크의 노드들의 합리적 선택에 다린 배우 네트워크와 네트워크 전체의 효율성이 중요한 파워그리드 모두에서 멱함수 분포가 나타납니다. 어쩌면 전기가 사회경제적 활동으로 파생되는 수요이고 인프라의 특성상 체계최적화를 위해 손쉽게 변화를 줄 수 있는 것이 아니다 보니 가능한 재원내에서 땜질하는 식의 연결이 있었기 때문이 아닌가 싶습니다. (파워그리드에 대해 다룬 논문에는 멱함수 분포를 따르는 정전의 규모데이터의 예시도 나오네요…!  | https://ieeexplore.ieee.org/… )

앞선 코멘트 준솔군의 영화시장 예시를 조금 다른쪽으로 이야기해보자면, 영화시장이 존재하는 문화의 특성에 따라 어떤 분포의 네트워크를 가진 영화시장이 형성되는지가 결정될 수 있을 것 같습니다. 의외의 등장인물이나 콜라보레이션을 기대하는 소비자들이 다수를 차지한다면 결과적으로 멱함수 분포식의 캐스팅이 이루어지지 않지 않을까요.

버스노선의 경우에는 새로운 노선을 만들기보다 오히려 개편이나 효율화가 필요한 시점에 다다랐을 때 특정노드를 삭제하거나 통합하면서 멱함수 분포를 따르게 될 것 같다는 생각도 들었습니다. 개인적으로 비용절감을 목적으로 둔 교통체계의 효율화는 어느정도 선에서 멈춰야 한다고 봅니다. 경제규모가 작은 특정 동네의 노선이 효율화를 거치며 더욱 접근성이 떨어지는 동네가 되는 부정적 피드백이 일어나고 교통의 요지인 허브들이 등장한다는 것은 그만큼 지역간의 격차가 커지는 것을 의미하기도 합니다.